Toán Lớp 12: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Tính tổng c&aacut

1 bình luận về “Toán Lớp 12: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Tính tổng c&aacut”

1. Chọn B.

   Cách 1: Ta có: $y‘=3f‘\left(3x–1\right)+3x^2–3m=3\left(f‘\left(3x–1\right)+x^2–m\right)$

   Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:

   $$\begin{gathered} y‘\ge 0,\forall x\in \left(–2;1\right)\iff \left(f‘\left(3x–1\right)+x^2–m\right)\ge 0,\forall x\in \left(–2;1\right) \\ f‘\left(3x–1\right)+x^2\ge m,\forall x\in \left(–2;1\right)\iff m\le \underset{\left(–2;1\right)}{min}\left(f‘\left(3x–1\right)+x^2\right) \end{gathered}$$

   Đặt $f‘\left(3x–1\right)=g\left(x\right)$ và $x^2=h\left(x\right)$

   Quan sát bảng biến thiên ta có:

   $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}f‘\left(3x–1\right)\ge –4=f‘\left(0\right),3x–1\in \left(–7;2\right)\\ h\left(x\right)=x^2\ge 0=h\left(0\right),\forall x\in \left(–2;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}f‘\left(3x–1\right)\ge –4=f‘\left(0\right),\forall x\in \left(–2;1\right)\\ h\left(x\right)=x^2\ge 0=h\left(0\right),\forall x\in \left(–2;1\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow f‘\left(3x–1\right)+h\left(x\right)\ge –4+0=–4,x=0 \\ \Rightarrow \underset{\left(–2;1\right)}{min}\left[g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]=–4,x=0 \end{gathered}$$

   Do đó: $\underset{\left(–2;1\right)}{\min }\left(f‘\left(3x–1\right)+x^2\right)=–4$

   Vì $m\in \left(–10;10\right)$ và $m\le –4$ nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39

   Cách 2:

   Xét hàm số $y=f\left(3x–1\right)+x^3–3mx$

   Ta có: $y‘=3f‘\left(3x–1\right)+3x^2–3m=3\left[f‘\left(3x–1\right)+x^2–m\right]$

   Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:

   $y‘\ge 0,\forall x\in \left(–2;1\right)\iff f‘\left(3x–1\right)\ge –x^2+m,\forall x\in \left(–2;1\right)$

   Đặt $g\left(x\right)=f‘\left(3x–1\right)\ge –x^2+m=h\left(x\right),\forall x\in \left(–2;1\right)$

   Đặt $\left\{\begin{array}{l}3x–1=t\\ x=\frac{t+1}{3}\\ t\in \left(–7;2\right)\end{array}\right.\Rightarrow f‘\left(t\right)\ge h\left(t\right)=–\frac{t^2+2t+1}{9}+m,\forall t\in \left(–7;2\right)\left(*\right)$

   Ta có đồ thị hàm số $h\left(t\right)=–\frac{t^2+2t+1}{9}+m$ có đỉnh I(-1;m)

   Vậy (*) thỏa mãn khi đồ thị $h\left(t\right)=–\frac{t^2+2t+1}{9}+m$ nằm dưới đồ thị y=f'(t)

   Suy ra: $m\le –4.$

   Với giả thiết $m\in \left(–10;10\right),m\in Z\Rightarrow m\in \left[–9;–4\right]\Rightarrow \sum _{m=–9}^{–4}m=–39.$

   Đăng nhập để trả lời