Toán Lớp 12: Cho hàm số f(x) = (a + 3)x 4 – 2ax 2 + 1 với a là tham số thực. Nếu max [ 0 ;   3 ] f ( x )

Xét hàm f(x) = (a + 3)x⁴ – 2ax² + 1

Þ f ‘(x) = 4(a + 3)x³ – 4ax.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 2 và liên tục trên đoạn [0; 3].

Þ f'(2) = 0 Û 4.(a +3).2³ – 4.a.2 = 0

Û 32(a + 3) – 8a = 0 Û a = −4.

Với a = −4 ta có f(x) = −x⁴ + 8x² + 1 với x Î [0; 3].

f'(x) = −4x³ + 16x.

Cho f'(x) = 0 Û $\left[\begin{array}{c}x=0\left(thoamãn\right)\\ x=2\left(thoamãn\right)\\ x=-2\left(loai\right)\end{array}\right.$

Khi đó f(0) = 1, f(2) = 17, f(3) = −8.

Suy ra $\underset{[0;3]}{\max }f\left(x\right)$= f(2) = 17 (thoả mãn giả thiết).

Vậy $\underset{[0;3]}{\min }f\left(x\right)$= f(3) = −8.